Weltbestes AnalysislehrbuchErfolgreiche englische AusgabeIncludes supplementary material: sn.pub/extras

Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen . . . . . 1 1.1 Logische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Bindew¨orter und Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Hinweise zu Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Einige besondere Schreibweisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Abschließende Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mengen und elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Der Begriff einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Der Begriff einer Funktion (Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Elementare Klassifizierung von Abbildungen . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen . . . 18 1.3.4 Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion . . 20 1.3.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Erg¨anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Die M¨achtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen) . . . . . . . . 27 1.4.2 Axiome der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3 S¨atze in der Sprache der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1 Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1 Definition der Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2 Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . 42 2.1.3 Das Vollst¨andigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke 46 2.2 Klassen reeller Zahlen und Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1 Die nat¨urlichen Zahlen. Mathematische Induktion . . . . . 49 XVI Inhaltsverzeichnis 2.2.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.3 Das archimedische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.4 Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Wichtige S¨atze zur Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.1 Der Satz zur Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.2 Der Satz zur endlichen ¨Uberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.3.3 Der Satz vom H¨aufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.4 Abz¨ahlbare und ¨uberabz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4.1 Abz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4.2 Die M¨achtigkeit des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.4.3 ¨Ubungen ...

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