Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wird in der Schule oft nur beiläufig behandelt, dabei handelt es sich um ein besonders spannendes und alltagstaugliches Teilgebiet der Mathematik. Für alle, die über dieses Thema noch etwas mehr erfahren wollen oder müssen, erklärt Deborah Rumsey verständlich und mit Humor, was sie unbedingt wissen sollten. Egal ob Kontingenztabelle, zentraler Grenzwertsatz, Stichproben-, Binomial- oder Poissonverteilung, in diesem Buch lernen Sie, was es ist und wie Sie es anwenden. Zu jedem Kapitel finden Sie online eine Übungsaufgabe samt Lösung, um das Gelernte zu festigen. Auch Tipps zu praktischen Anwendungen
- ob bei der Arbeit oder am Pokertisch - kommen nicht zu kurz. So finden Sie in diesem Buch alles, was Sie über Wahrscheinlichkeitsrechnung unbedingt wissen sollten.
Deborah Rumsey ist Professorin für Statistik an der Ohio State University und unter anderem Autorin von »Statistik für Dummies« und dem »Übungsbuch Statistik für Dummies«.
Einführung 21
Über dieses Buch 21
Konventionen in diesem Buch 22
Was Sie nicht lesen müssen 22
Törichte Annahmen über den Leser 22
Wie dieses Buch aufgebaut ist 23
Teil I: Die Sicherheit der Unsicherheit: Grundlagen der Wahrscheinlichkeit 23
Teil II: Auf die Wahrscheinlichkeit setzen und wetten, um zu gewinnen 23
Teil III: Grundlegende Wahrscheinlichkeitsmodelle 24
Teil IV: Fortgeschrittene Wahrscheinlichkeitsmodelle 24
Teil V: Stetige Wahrscheinlichkeitsmodelle 24
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 25
Anhang 25
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 25
Wie es weitergeht 26
Teil I Die Sicherheit der Unsicherheit:
Grundlagen der Wahrscheinlichkeit 27
Kapitel 1 Wahrscheinlichkeit im Alltag 29
Was bedeutet Wahrscheinlichkeit? 29
Was ist eine »Chance«? 29
Wahrscheinlichkeiten interpretieren: In großen Mengen und langen Zeiträumen denken 30
Wahrscheinlichkeiten im Alltag erkennen 31
Wahrscheinlichkeiten ermitteln 32
Seien Sie subjektiv 32
Wählen Sie einen klassischen Ansatz 33
Relative Häufigkeiten ermitteln 33
Verwenden Sie Simulationen 35
Denkfehler über Wahrscheinlichkeit, die Sie vermeiden sollten 36
Zwei mögliche Ergebnisse als 50-50-Situation sehen 36
Denken, dass keine Muster auftreten können 37
Kapitel 2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit 39
Ein Überblick über die Mengennotation 39
Ergebnisse festhalten: Stichprobenräume 39
Teilmengen von Stichprobenräumen festhalten: Ereignisse 41
Die leere Menge 42
Mengenoperationen: Vereinigung, Durchschnitt und Komplement 43
Arten der Wahrscheinlichkeit 44
Wahrscheinlichkeitsnotation 44
Marginale Wahrscheinlichkeit 46
Wahrscheinlichkeit der Vereinigung 46
Wahrscheinlichkeiten des Durchschnitts 46
Komplementäre Wahrscheinlichkeit 47
Bedingte Wahrscheinlichkeit 47
Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden 49
Die Komplementärregel 50
Die Multiplikationsregel 51
Die Additionsregel 52
Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse 52
Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse anhand der Definition prüfen 53
Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse nutzen 53
Einander ausschließende Ereignisse berücksichtigen 54
Einander ausschließende Ereignisse erkennen 55
Die Additionsregel mit einander ausschließenden Ereignissen vereinfachen 55
Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse unterscheiden 56
Ein Vergleich von Unabhängigkeit und Ausschließlichkeit 56
Die Unabhängigkeit oder Ausschließlichkeit in einem Kartenspiel mit 52 Karten prüfen 57
Kapitel 3 Wahrscheinlichkeit visualisieren: Venn-Diagramme, Baumdiagramme und das Bayes-Theorem 59
Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen visualisieren 59
Mit Venn-Diagrammen nicht gegebene Wahrscheinlichkeiten ermitteln 60
Beziehungen mit Venn-Diagrammen ordnen und visualisieren 61
Umwandlungsregeln für Mengen in Venn-Diagrammen 62
Die Grenzen von Venn-Diagrammen 63
Wahrscheinlichkeiten für komplexe Probleme mit Venn-Diagrammen ermitteln 64
Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen 67
Mehrstufige Ergebnisse mit einem Baumdiagramm visualisieren 68
Bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm visualisieren 69
Die Grenzen der Baumdiagramme 73
Mit einem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten für komplexe Ereignisse ermitteln 73
Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem 75
Eine marginale Wahrscheinlichkeit mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen 76
Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit mit dem Bayes-Theorem berechnen 79
Teil II Auf die Wahrscheinlichkeit setzen und wetten,
um zu gewinnen 85
Kapitel 4 Kontingenztabellen mit Wahrscheinlichkeiten aufstellen 87
Eine Kontingenztabelle aufbauen 87
Den Stichprobenraum beschreiben 88
Die Zeilen und Spalten bilden 88
Die Daten eintragen 89
Zeilensummen, Spaltensummen und Gesamtsummen 89
Wahrscheinlichkeiten in einer Kontingenztabelle finden und interpretieren 90
Wahrscheinlichkeiten von Durchschnitten ermitteln 90
Marginale Wahrscheinlichkeiten berechnen 90
Bedingte Wahrscheinlichkeiten identifizieren 91
Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse prüfen 93
Kapitel 5 Zählregeln auf Kombinationen und Permutationen anwenden 95
Permutationen 95
Eine Permutation analysieren 95
Permutationsprobleme mit zusätzlichen Einschränkungen 100
Wahrscheinlichkeiten für Permutationsprobleme finden 104
Kombinationen zählen 106
Kombinationsprobleme lösen 106
Kombinationen und das Pascal'sche Dreieck 108
Wahrscheinlichkeitsprobleme mit Kombinationen 109
Komplexere Kombinationen anhand von Poker-Blättern studieren 112
Wahrscheinlichkeiten für Kombinationen berechnen 117
Kapitel 6 Wider alle Chancen: Wahrscheinlichkeit beim Glücksspiel 123
Kennen Sie Ihre Chancen: Wahrscheinlichkeit, Chancen und Erwartungswert 124
Lotterie spielen 125
Die Wahrscheinlichkeit, in der Lotterie zu gewinnen 125
Die Quote berechnen 127
Den Erwartungswert eines Lotterieloses berechnen 127
An den Spielautomaten spielen 131
Die durchschnittliche Auszahlung 132
Spielautomatenmythen entzaubern 133
Eine einfache Strategie für Spielautomaten 135
Das Roulette-Rad drehen 136
Die Grundlagen des Roulettes 136
Inside und Outside Bets platzieren 137
Eine Roulette-Strategie entwickeln 140
Ihre Chancen, »Bingo!« zu rufen 141
Die Möglichkeiten, beim Bingo zu gewinnen 142
Die Wahrscheinlichkeit, Bingo zu bekommen komplizierter, als Sie vielleicht denken 143
Der Ruin des Spielers 145
Das berühmte Geburtstagsproblem 146
Teil III Von A nach Binomial: Grundlegende Wahrscheinlichkeitsmodelle 149
Kapitel 7 Grundlagen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 151
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen 151
Was ist eine Zufallsvariable? 151
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung finden und anwenden 153
Die kumulative Verteilungsfunktion (KVF) ermitteln und anwenden 158
Die KVF interpretieren 159
Die KVF grafisch darstellen 160
Wahrscheinlichkeiten mit der KVF ermitteln 161
Die WMF aus der KVF ableiten 163
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen 165
Den Erwartungswert von X berechnen 165
Die Varianz von X berechnen 167
Die Standardabweichung von X berechnen 168
Ein Überblick über die diskrete Gleichverteilung 169
Die WMF der diskreten Gleichverteilung 169
Die KVF der diskreten Gleichverteilung 170
Der Erwartungswert der diskreten Gleichverteilung 170
Die Varianz und die Standardabweichung der diskreten Gleichverteilung 171
Kapitel 8 Erfolg und Misserfolg mit der Binomialverteilung berechnen 173
Das Binomialmodell erkennen 173
Die Binomialbedingungen Schritt für Schritt prüfen 174
Nicht-binomische Variablen erkennen 175
Wahrscheinlichkeiten für das Binomial ermitteln 177
Binomische Wahrscheinlichkeiten mit der WMF berechnen 177
Binomische Wahrscheinlichkeiten mit der KVF ermitteln 182
Der Erwartungswert und die Varianz der Binomialverteilung 187
Der Erwartungswert der Binomialverteilung 187
Die Varianz und die Standardabweichung der Binomialverteilung 188
Kapitel 9 Die Normalverteilung 189
Die Grundlagen der Normalverteilung 189
Form, Mittelpunkt und Spreizung 190
Die Standardnormalverteilung (Z-Verteilung) 192
Wahrscheinlichkeiten für eine Normalverteilung berechnen und anwenden 194
Den Graphen zeichnen 195
Ein Problem in die Wahrscheinlichkeitsnotation übersetzen 195
Die Z-Formel anwenden 196
Mit der Z-Tabelle die Wahrscheinlichkeit ermitteln 197
Normalverteilungsprobleme mit Rückwärtsrechnung 202
Analyse eines Normalverteilungsproblems mit Rückwärtsrechnung 203
Die Z-Tabelle rückwärts lesen 205
Die Z-Formel nach X auflösen, um X-Einheiten zu berechnen 207
Kapitel 10 Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 209
Wann benötigen Sie eine Annäherung der Binomialverteilung? 209
Warum die Annäherung an die Normalverteilung funktioniert, wenn n groß genug ist 210
Symmetrische Verteilungen: Wenn p nahe bei 0,50 liegt 211
Schiefe Verteilungen: Wenn p nahe bei null oder eins liegt 212
Die Annäherung der Binomialverteilung an die Normalverteilung verstehen 214
Feststellen, ob n groß genug ist 215
Den Mittelwert und die Standardabweichung für die Z-Formel finden 215
Die Stetigkeitskorrektur durchführen 216
Eine Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern: Ein Münzbeispiel 219
Wahrscheinlichkeiten für große Erhebungen ermitteln 222
Kapitel 11 Stichprobenverteilungen und der Zentrale Grenzwertsatz 225
Grundlagen einer Stichprobenverteilung 225
Eine Stichprobenstatistik erstellen 226
Möglichkeiten mit der Stichprobenverteilung auflisten 226
Rettung durch den Zentralen Grenzwertsatz 228
Stichprobenstatistiken mit dem Zentralen Grenzwertsatz (ZGS) berechnen 229
Das Hauptergebnis des ZGS 229
Warum der ZGS funktioniert 230
Die Stichprobenverteilung der Stichprobensumme 234
Die Anwendung des ZGS auf die Stichprobensumme 234
Wahrscheinlichkeiten für t mit dem ZGS ermitteln 235
Die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts 238
Die Anwendung des ZGS auf den Stichprobenmittelwert 238
Wahrscheinlichkeiten für "X mit dem ZGS berechnen 239
Die Stichprobenverteilung eines Stichprobenanteils 241
Die Anwendung des ZGS auf einen Stichprobenanteil 241
Wahrscheinlichkeiten für ^p mit dem ZGS berechnen 242
Kapitel 12 Möglichkeiten analysieren; Entscheidungen treffen 245
Konfidenzintervalle und Wahrscheinlichkeit 245
Eine Wahrscheinlichkeit abschätzen 246
Die Kosten einer richtigen Entscheidung abschätzen 248
Ein Konfidenzintervall mit Wahrscheinlichkeiten interpretieren 249
Wahrscheinlichkeiten und Hypothesentests 249
Eine Wahrscheinlichkeit testen 250
Mit p-Werten Wahrscheinlichkeiten abschätzen 251
Die Wahrscheinlichkeit, eine Fehlentscheidung zu treffen 252
Data Snooping in Schach halten 253
Wahrscheinlichkeit in der Qualitätskontrolle 254
Teil IV Fortgeschrittene Wahrscheinlichkeitsmodelle 257
Kapitel 13 Die Poissonverteilung 259
Ankünfte mit der Poissonverteilung modellieren 259
Die Bedingungen für eine Poissonverteilung 259
Die Poisson- und die Binomialverteilung im Vergleich 260
Die Wahrscheinlichkeiten für die Poissonverteilung berechnen 261
Die WMF der Poissonverteilung 261
Die KVF der Poissonverteilung 264
Der Erwartungswert und die Varianz der Poissonverteilung 267
Zeitliche oder räumliche Einheiten ändern: der Poissonprozess 267
Eine Poissonverteilung an eine Normalverteilung annähern 269
Die Bedingungen einer Annäherung an die Normalverteilung erfüllen 269
Die vollständigen Schritte für die Annäherung der Poissonverteilung an die Normalverteilung 272
Kapitel 14 Die geometrische Verteilung 275
Die Form der geometrischen Verteilung 275
Die Bedingungen für eine geometrische Verteilung 276
Wann wird eine geometrische Verteilung statt einer Binomialverteilung oder Poissonverteilung gewählt? 276
Wahrscheinlichkeiten für die geometrische Verteilung mit der WMF ermitteln 278
Die WMF für die geometrische Verteilung 278
Geometrische Wahrscheinlichkeiten anwenden 279
Erwartungswert und Varianz der geometrischen Verteilung 280
Der Erwartungswert der geometrischen Verteilung 281
Die Varianz und die Standardabweichung der geometrischen Verteilung 281
Kapitel 15 Die negative Binomialverteilung 285
Bedingungen für eine negative Binomialverteilung 285
Die Bedingungen für eine negative Binomialverteilung 286
Gegenüberstellung der negativen Binomialverteilung,
der geometrischen Verteilung und der Binomialverteilung 286
Wahrscheinlichkeiten für die negative Binomialverteilung berechnen 287
Die Formel für die negative Binomialverteilung 288
Die WMF der negativen Binomialverteilung anwenden 289
Der Erwartungswert und die Varianz der negativen Binomialverteilung 293
Der Erwartungswert der negativen Binomialverteilung 293
Die Varianz und die Standardabweichung der negativen Binomialverteilung 294
Die Formeln für den Erwartungswert und die Varianz anwenden 295
Kapitel 16 Die hypergeometrische Verteilung 297
Die Bedingungen für die hypergeometrische Verteilung 297
Wahrscheinlichkeiten für die hypergeometrische Verteilung berechnen 298
Die WMF der hypergeometrischen Verteilung 299
Die Grenzbedingungen für X 301
Mit der WMF Wahrscheinlichkeiten berechnen 302
Der Erwartungswert und die Varianz der hypergeometrischen Verteilung 304
Der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung 304
Die Varianz und die Standardabweichung der hypergeometrischen Verteilung 305
Teil V Für Gipfelstürmer: Stetige Wahrscheinlichkeitsmodelle 307
Kapitel 17 Die stetige Gleichverteilung 309
Die Eigenschaften der stetigen Gleichverteilung 309
Die Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung 310
Die allgemeine Form von f(x) 311
f(x) für ein gegebenes a und b berechnen 312
Den Wert von b unter der Bedingung f(x) finden 312
Wahrscheinlichkeiten für die stetige Gleichverteilung berechnen 314
»Kleiner als«-Wahrscheinlichkeiten berechnen 314
»Größer als«-Wahrscheinlichkeiten berechnen 316
Wahrscheinlichkeiten zwischen zwei Werten berechnen 317
Kumulative Wahrscheinlichkeiten mit F(x) berechnen 318
Der Erwartungswert und die Varianz der stetigen Gleichverteilung 320
Der Erwartungswert der stetigen Gleichverteilung 320
Die Varianz und die Standardabweichung der stetigen Gleichverteilung 321
Die Gleichverteilung in einem Zufallsgenerator verwenden 322
Kapitel 18 Die Exponentialverteilung (und ihre Beziehung zur Poissonverteilung) 323
Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung 324
Wahrscheinlichkeiten für eine Exponentialverteilung berechnen 325
»Kleiner als«-Wahrscheinlichkeiten für eine Exponentialverteilung berechnen 326
»Größer als«-Wahrscheinlichkeiten für eine Exponentialverteilung berechnen 328
»Zwischen«-Wahrscheinlichkeiten für eine Exponentialverteilung berechnen 329
Der Erwartungswert und die Varianz der Exponentialverteilung 331
Der Erwartungswert der Exponentialverteilung 331
Die Varianz und Standardabweichung der Exponentialverteilung 332
Die Beziehungen zwischen Poissonverteilungen und Exponentialverteilungen 333
Die Poisson- und die Exponentialverteilung in Aktion 334
Teil VI Der Top-Ten-Teil 335
Kapitel 19 Zehn Schritte zu einer besseren Note in Wahrscheinlichkeitsrechnung 337
Sich mit einem Problem vertraut machen 337
Die Frage verstehen 338
Den Kern von Wahrscheinlichkeitsproblemen herausschälen 339
Die Informationen organisieren 339
Schreiben Sie alle Formeln nieder 340
Prüfen Sie die Bedingungen 341
Mit Zuversicht rechnen 341
Präsentieren Sie Ihren Lösungsgang 342
Prüfen Sie Ihre Lösung 343
Die Ergebnisse interpretieren 345
Eine Zusammenfassung erstellen 345
Kapitel 20 Die Top-Ten-Wahrscheinlichkeitsfehler (plus einem) 347
Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen null und eins liegen muss 347
Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren 348
Wahrscheinlichkeiten für kurzfristige Vorhersagen verwenden 348
Nicht glauben, dass 1-2-3-4-5-6 gewinnen kann 349
An Läufe beim Würfeln glauben 350
Jeder Situation eine 50-50-Chance einräumen 350
Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln 351
Die falsche Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden 352
Die Bedingungen für ein Wahrscheinlichkeitsmodell nicht prüfen 353
Permutationen und Kombinationen verwechseln 354
Unabhängigkeit annehmen 355
Anhang A: Referenztabellen 357
Stichwortverzeichnis 367
