Auf Kriegsfuß mit der Analysis stehen, ist keine Schande. Wenn man sie aber beherrschen muss, hilft das nicht viel. Aber es gibt Abhilfe: Dieses Buch erklärt Ihnen die Grundlagen der Analysis aus den Klassen 8-10 und liefert Ihnen so ein Fundament, auf dem Sie Ihre weiteren Rechenkünste aufbauen können. So erfahren Sie, was Sie über lineare, quadratische, exponentielle, logarithmische und trigonometrische Funktionen wissen müssen, um in der Analysis bestehen zu können. Außerdem erklären Ihnen die Autoren die ersten Schritte in Differentation und Integration und zur Auswertung der Grenzwerte. So gerüstet, können Sie sich getrost der Analysis stellen.
Krystle Rose Forseth ist Leiterin der Mathematik-Abteilung im Fusion Learning Center und der Fusion Academy. Christopher Burger lehrt seit über zehn Jahren Mathematik und arbeitet ebenfalls am Fusion Learning Center. Michelle Rose Gilman ist Geschäftsführerin des Fusion Learning Center.
Einführung 19
Über dieses Buch 19
Konventionen in diesem Buch 20
Törichte Annahmen über den Leser 20
Aufbau dieses Buches 21
Teil I: Aufstellen, Lösen, Zeichnen 21
Teil II: Die wichtigsten Grundlagen der Trigonometrie 21
Teil III: Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen 21
Teil IV: Der Teil der Zehn 22
Symbole in diesem Buch 22
Wie es weitergeht 23
Teil I Aufstellen, Lösen, Zeichnen 25
Kapitel 1 Themen aus der Mathematik vor den Grundlagen der Analysis 27
Grundlagen der Analysis: Ein Überblick 27
Zahlengrundlagen (und nein, hier wird nicht gezählt!) 29
Die Vielfalt der Zahlentypen: Begriffe, die Sie kennen sollten 29
Die grundlegenden Operationen für Zahlen 30
Die Eigenschaften von Zahlen: Was Sie sich unbedingt merken sollten! 31
Mathematische Aussagen in sichtbare Form bringen: Spaß mit Graphen 32
Grundlegende Begriffe und Konzepte kennen lernen 32
Graphen für Gleichungen im Vergleich zu Ungleichungen 33
Informationen aus Graphen ablesen 34
Der Umgang mit dem graphischen Taschenrechner 36
Kapitel 2 Reelle Zahlen 39
Ungleichungen lösen 39
Eine kurze Wiederholung zu Ungleichungen 39
Gleichungen und Ungleichungen mit Absolutwerten lösen 40
Lösungen für Ungleichungen unter Verwendung der Intervallnotation ausdrücken 42
Variationen zur Division und Multiplikation: Wurzeln und Exponenten 44
Wurzeln und Exponenten definieren und einander zuordnen 44
Wurzeln als Exponenten umschreiben (oder rationale Exponenten erzeugen) 45
Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen: Rationalisieren 46
Kapitel 3 Die Voraussetzung für die Grundlagen der Analysis: Funktionen 49
Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen und ihre Graphen 49
Grundfunktionen (die gebräuchlichsten) und ihre Graphen 50
Quadratische Funktionen 50
Quadratwurzelfunktionen 51
Absolutwertfunktionen 52
Kubikfunktionen 52
Kubikwurzelfunktionen 53
Transformation der Grundgraphen 54
Vertikale Transformationen 55
Horizontale Transformationen 56
Translationen 57
Spiegelungen 59
Kombinationen verschiedener Transformationen (selbst wieder eine Transformation!) 60
Punktweise Transformation von Funktionen 62
Graphen für Funktionen erstellen, die mehrere Regeln verwenden: Stückweise Funktionen 63
Ausgabewerte für rationale Funktionen berechnen 65
Schritt 1: Suche nach vertikalen Asymptoten 65
Schritt 2: Suche nach horizontalen Asymptoten 66
Schritt 3: Schräge Asymptoten suchen 67
Schritt 4: Die x- und y-Schnittpunkte finden 67
Die Ergebnisse umsetzen: Graphen rationaler Funktionen 68
Der Nenner hat den höheren Grad 68
Zähler und Nenner haben denselben Grad 71
Der Zähler hat den höheren Grad 72
Operationen auf Funktionen: Ganz ohne Skalpell 73
Addieren und Subtrahieren 74
Multiplizieren und Dividieren 75
Die Verknüpfung von Funktionen verstehen 76
Anpassung des Definitionsbereichs und des Wertebereichs verknüpfter Funktionen (falls nötig) 76
Wechselspiele mit inversen Funktionen 79
Den Graphen einer Inversen darstellen 79
Invertierung einer Funktion, um ihre Inverse zu finden 81
Eine Inverse überprüfen 81
Kapitel 4 Nullstellen finden und nutzen, um die Graphen von Polynomfunktionen darzustellen 83
Die Bedeutung von Graden und Nullstellen 83
Einen Polynomausdruck faktorisieren 85
Immer der erste Schritt: Die Suche nach einem ggT 86
Bringen Sie Ordnung hinein: Die EAIL-Methode für Trinome 87
Spezielle Polynomtypen erkennen und faktorisieren 89
Gruppieren, um vier oder mehr Terme zu faktorisieren 92
Die Nullstellen einer faktorisierten Gleichung bestimmen 94
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Quadratformel) falls nicht faktorisiert werden kann 94
Die Quadratformel anwenden 95
Die quadratische Ergänzung 95
Nicht faktorisierbare Polynome mit einem höheren Grad als 2 auflösen 97
Alle Nullstellen eines Polynoms zählen 97
Die reellen Nullstellen erkennen: Die Vorzeichenregel von Descartes 97
Imaginäre Nullstellen zählen: Der Fundamentalsatz der Algebra 98
Reelle Nullstellen raten und prüfen 100
Und jetzt rückwärts: Mit Hilfe von Lösungen Faktoren finden 106
Graphen von Polynomen zeichnen 107
Wenn alle Nullstellen reelle Zahlen sind 107
Wenn einige (oder alle) der Nullstellen imaginäre Zahlen sind: Alle Techniken kombinieren 110
Kapitel 5 Exponentielle und logarithmische Funktionen 113
Exponentialfunktionen 114
Die wichtigsten Eigenschaften einer Exponentialfunktion 114
Graphendarstellung und Transformation einer Exponentialfunktion 116
Logarithmen: Die Umkehr der Exponentialfunktionen 118
Logarithmen in den Griff kriegen 118
Eigenschaften und Beziehungen von Logarithmen 119
Die Basis eines Logarithmus ändern (wenn es sich um keinen natürlichen oder allgemeinen Logarithmus handelt) 120
Eine Zahl berechnen, deren Logarithmus Sie kennen: Inverse Logarithmen 121
Graphen von Logarithmen 121
Gleichungen mit Exponenten und Logarithmen lösen 125
Die Lösung von Exponentialgleichungen schrittweise erklärt 125
Schritte zur Lösung logarithmischer Gleichungen 127
Textaufgaben mit Exponentialgleichungen lösen 129
Teil II Die Wichtigsten Grundlagen Der Trigonometrie 133
Kapitel 6 Winkel und der Einheitskreis 135
Bogenmaß: Das Basis-Maß in den Grundlagen der Analysis 135
Trigonometrische Verhältnisse: Rechtwinklige Dreiecke einen Schritt weiter führen 136
Einen Sinus schaffen 137
Die Suche nach dem Kosinus 138
Weiter zum Tangens 139
Die Kehrseite: Reziproke trigonometrische Funktionen 140
Die Umkehr: Inverse trigonometrische Funktionen 141
Trigonometrische Verhältnisse und ihr Verhalten in der Koordinatenebene 142
Den Einheitskreis in den Griff bekommen 145
Machen Sie sich mit den gebräuchlichsten Winkeln vertraut 145
Ungebräuchliche Winkel zeichnen 146
Spezielle Winkelverhältnisse 148
Der 45er: 45°45°90°-Dreiecke 148
Das alte 3060: 30°60°90°-Dreiecke 149
Zusammenführung von Dreiecken und dem Einheitskreis: Einigkeit macht stark! 150
Die wichtigsten Winkel ohne Winkelmesser korrekt platzieren 151
Werte trigonometrischer Funktionen auf dem Einheitskreis finden 153
Den Referenzwinkel finden, um nach Winkeln auf dem Einheitskreis aufzulösen 158
Nicht nur was für Robin Hood: Bögen erstellen und messen 163
Kapitel 7 Graphen und Transformationen von trigonometrischen Funktionen 165
Grundgraphen für Sinus und Kosinus skizzieren 165
Der Sinus-Graph 166
Der Kosinus-Graph 168
Die Graphen von Tangens und Kotangens 169
Tangens 170
Kotangens 172
Sekans und Kosekans in Bildern 174
Sekans 174
Kosekans 176
Trigonometrische Graphen transformieren 177
An den Graphen von Sinus und Kosinus herumbasteln 178
Änderung der Amplitude 178
Graphen von Tangens und Kotangens anpassen 179
Die Graphen von Sekans und Kosekans transformieren 192
Kapitel 8 Trigonometrische Identitäten: Die Grundlagen 197
Bedenke das Ende: Eine schnelle Einführung in das Thema Identitäten 198
Der Zweck heiligt die Mittel: Grundlegende trigonometrische Identitäten 198
Kehrwert-Identitäten 199
Pythagoräische Identitäten 201
Gerade/Ungerade-Identitäten 204
Kofunktions-Identitäten 205
Periodizitäts-Identitäten 207
Schwierige trigonometrische Beweise: Ein paar Techniken, die Sie kennen sollten 209
Nervtötende Nenner 210
Auf jeder Seite unabhängig arbeiten 213
Kapitel 9 Es geht weiter: Identitäten für Fortgeschrittene! 217
Trigonometrische Funktionen von Summen und Differenzen finden 217
Den Sinus von (a ± b) bestimmen 218
Den Kosinus von (a ± b) berechnen 222
Den Tangens von (a ± b) berechnen 224
Die Summen- und Differenzformeln auf Beweise anwenden 226
Den trigonometrischen Wert eines Winkels verdoppeln, ohne den Winkel zu kennen 227
Den Sinus eines verdoppelten Winkels bestimmen 227
Den Kosinus für zwei berechnen 229
Quadrieren Sie Ihre Sorgen weg! 230
Doppelter Spaß mit dem Tangens 231
Trigonometrische Funktionen allgemeiner Winkel, dividiert durch zwei 232
Ausblick auf die Analysis: Von Produkten zu Summen und zurück 234
Produkte als Summen (oder Differenzen) ausdrücken 234
Von Summen (oder Differenzen) zu Produkten 236
Exponenten trigonometrischer Funktionen mit Hilfe der Formeln zur Potenzreduzierung eliminieren 237
Kapitel 10 Schiefe Dreiecke mit dem Sinus- und dem Kosinussatz bestimmen 239
Ein Dreieck mit dem Sinussatz lösen 240
Zwei Winkel sind bekannt 241
Zwei bekannte aufeinander folgende Seitenlängen (SSW) 244
Einem Dreieck mit dem Kosinussatz zu Leibe rücken 250
SSS: Winkel bestimmen, wenn nur die Seiten bekannt sind 251
SWS: Der Winkel in der Mitte (und die beiden Seiten) 253
Das Dreieck durch Berechnung der Fläche bestimmen 255
Fläche anhand von zwei Seiten und einem dazwischen liegenden Winkel bestimmen (für SWS-Szenarien) 255
Die Formel von Heron (für SSS-Szenarien) 255
Teil III Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen 257
Kapitel 11 Eine neue Denkweise: Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten 259
Ein Vergleich zwischen reellen und imaginären Zahlen (und wie die Mathematiker sie sehen) 259
Reell und imaginär kombinieren: Das komplexe Zahlensystem 261
Die Bedeutung komplexer Zahlen verstehen 261
Operationen mit komplexen Zahlen 261
Komplexe Zahlen graphisch darstellen 263
Polarkoordinaten 264
Die Polarkoordinatenebene 265
Polarkoordinaten mit negativen Werten graphisch darstellen 267
In und von Polarkoordinaten umrechnen 269
Polargleichungen graphisch darstellen 272
Kapitel 12 Kegelschnitte 275
Kegel an Kegel: Die vier Kegelschnitte 276
Im Bilde (Graphenform) 276
Schriftlich (Gleichungsform) 277
Es geht rund: Kreise 278
Einen Kreis zeichnen 279
Auf und ab mit Parabeln 281
Beschriftung der Teile 281
Die Eigenschaften einer Standardparabel 282
Variationen zeichnen: Parabeln in der Ebene (und nicht im Ursprung) 283
Bestimmung von Scheitel, Symmetrieachse, Brennpunkt und Leitlinie 284
Minimum- und Maximumwerte vertikaler Parabeln bestimmen 288
Ellipsen (ein lustiges Wort für Ovale) 289
Ellipsen beschriften und algebraisch ausdrücken 290
Teile des Ovals identifizieren: Scheitel, Nebenscheitel, Achsen und Brennpunkte 291
Hyperbeln ein Parabelnpaar 294
Die beiden Hyperbeltypen und ihre Bestandteile visualisieren 294
Den Graphen einer Hyperbel aus der Gleichung ableiten 296
Die Gleichung von Asymptoten finden 298
Kegelschnitte außerhalb der Welt der kartesischen Koordinaten ausdrücken 299
Kegelschnitte in parametrischer Form zeichnen 299
Gleichungen von Kegelschnitten in der Polarkoordinatenebene 301
Kapitel 13 Gleichungssysteme und Matrizen 305
Eine Einführung zu den Lösungsverfahren von Gleichungssystemen 306
Lösungen von Systemen mit zwei Gleichungen algebraisch bestimmen 307
Lineare Systeme lösen 307
Nicht lineare Systeme 311
Systeme mit mehr als zwei Gleichungen lösen 313
Partialbruchzerlegung 316
Ungleichungssysteme 317
Matrizen: Grundlagen 319
Grundlegende Operationen für Matrizen 320
Matrizen miteinander multiplizieren 321
Matrizen vereinfachen, um den Lösungsprozess leichter zu machen 324
Ein System in Matrizenform darstellen 324
Reduzierte Zeilenstufenform 325
Erweiterte Form 327
Matrizen beherrschen 328
Mit der Gaußschen Eliminierung Systeme lösen 328
Eine Matrix mit ihrer Inversen multiplizieren 331
Mit Determinanten arbeiten: Die Cramersche Regel 334
Kapitel 14 Folgen, Reihen und die Entwicklung von Binomen 339
Folgerichtig: Die allgemeine Vorgehensweise 339
Die Terme einer Folge mit Hilfe des Folgenausdrucks berechnen 340
In die umgekehrte Richtung arbeiten: Anhand von Termen einen Ausdruck bilden 340
Rekursive Folgen: Eine Art allgemeine Folge 341
Den Abstand zwischen Termen berechnen: Arithmetische Folgen 342
Mit Hilfe aufeinander folgender Terme einen weiteren Term in einer arithmetischen Folge finden 343
mit Hilfe von zwei beliebigen Termen 343
Gleiche Verhältnisse aufeinander folgender Terme: Geometrische Folgen 344
Einen Term identifizieren, wenn man aufeinander folgende Terme kennt 345
Außer der Reihe: Einen Term finden, wenn die Terme nicht aufeinander folgend sind 346
Eine Reihe erstellen: Die Terme einer Folge aufsummieren 347
Die allgemeine Summennotation 347
Die Summe einer arithmetischen Folge bilden 348
Aufaddieren geometrischer Folgen 349
Weiter mit dem binomischen Lehrsatz 352
Der binomische Lehrsatz und seine Bestandteile 353
Wir beginnen ganz vorne: Binomische Koeffizienten 354
Mit dem binomischen Satz entwickeln 355
Kapitel 15 Ausblick auf die Analysis 361
Der Unterschied zwischen den Grundlagen der Analysis und der Analysis 361
Grenzwerte verstehen und darüber sprechen 363
Den Grenzwert einer Funktion finden 363
Graphisch 364
Analytisch 365
Algebraisch 366
Mit Grenzwerten arbeiten: Die Grenzwertsätze 369
Stetigkeit von Funktionen überprüfen 370
Feststellen, ob eine Funktion stetig ist 370
Der Umgang mit der Unstetigkeit 370
Kapitel 16 Grenzwerte auswerten 373
Einfache Grenzwerte 373
Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 373
Einsetzen und Einkochen 374
Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwert 374
Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 375
Aufgabenstellungen mit Grenzwert algebraisch lösen 377
Machen Sie eine Pause mit einem Grenzwert-Sandwich 380
Grenzwerte bei unendlich auswerten 385
Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 386
Grenzwerte bei unendlich mit einem Taschenrechner lösen 387
Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 388
Kapitel 17 Differentiation Orientierung 391
Differentiation: Sucht die Steigung! 392
Die Steigung einer Geraden 394
Die Ableitung einer Geraden 396
Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 397
Analysis auf dem Spielplatz 397
Geschwindigkeit die uns vertrauteste Änderungsrate 398
Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 399
Die Ableitung einer Kurve 400
Der Differenzquotient 402
Durchschnittliche Änderungsrate und unmittelbare Änderungsrate 409
Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 409
Kapitel 18 Integration und Flächenannäherung Ein Einstieg 411
Integration: Einfach eine seltsame Addition 411
Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 413
Der Umgang mit negativen Flächen 416
Flächen annähern 416
Flächen mit Hilfe linker Summen annähern 416
Flächen mit Hilfe rechter Summen annähern 419
Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 422
Die Summennotation 423
Die Grundlagen summieren 424
Riemann-Summen in Sigma-Notation 424
Exakte Flächen mit Hilfe des bestimmten Integrals ermitteln 427
Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 430
Die Trapezregel 430
Die Simpson-Regel Thomas (17101761), nicht Homer (1987) 433
Teil IV Der Teil Der Zehn 435
Kapitel 19 Zehn Gewohnheiten, die Ihnen bei der Analysis helfen 437
Lesen Sie genau, wie die Aufgabe lautet! 437
Zeichnen Sie Bilder (viele Bilder!)! 438
Planen Sie Ihren Angriff! 438
Schreiben Sie sich alle Formeln auf! 439
Zeigen Sie jeden Schritt Ihrer Arbeit! 440
Erkennen Sie, wann Sie aufhören sollten! 440
Überprüfen Sie Ihre Lösungen! 441
Üben Sie! 441
Stellen Sie sicher, dass Sie die Konzepte verstanden haben! 442
Löchern Sie Ihren Lehrer mit Fragen! 442
Kapitel 20 Zehn Dinge, die Sie sich abgewöhnen sollten, bevor Sie mit der Analysis beginnen 443
Falsche Operatorreihenfolge 443
Quadrieren ohne EAIL 443
Nenner aufsplitten 444
Falsche Terme zusammenfassen 444
Den Kehrwert vergessen 444
Minuszeichen vergessen 445
Übervereinfachung von Wurzeln 445
Exponentielle Irrtümer 445
Zu schnell kürzen 446
Falsch Einmultiplizieren 447
Stichwortverzeichnis 449
